Etter omdanning¶

Listen med observasjoner etter omdanning inneholder alle omdannede satelittvektorer, det vil si avstand, retning og zenitdistanse.

Hva skjer ved en omdanning?¶

I Gemini Terrain er det valgt en metode som først transformerer vektoren i lengde (l) og bredde (j) til et lokalt venstrehånds koordinatsystem der X'-aksen tangerer lokal meridian, slik formelen under viser.

\[ \begin{array}{c} \text{X'} \\ \begin{bmatrix} dX' \\ dY' \\ dZ' \end{bmatrix} \end{array} = \begin{array}{c} \text{M} \\ \begin{bmatrix} -\sin \phi \cos \lambda & -sin\phi\cos \lambda & \cos \phi \\ -\sin \lambda & \cos \lambda & 0\\ \cos \phi \cos \lambda & \cos \phi \sin \lambda & \sin \phi \end{bmatrix} \end{array} \cdot \begin{array}{c} \text{X} \\ \begin{bmatrix} dX \\ dY \\ dZ \end{bmatrix} \end{array} \]

Eller forkortet: $X' = M \cdot X$

Ut fra dette lokale koordinatsystemet kan vi beregne avstand, retningsvinkel og zenitdistanse.

Avstand¶

Ved hjelp av figuren ser vi at ellipsoidisk avstand kan uttrykkes som:

$ D = R_m\arctg \frac {\sqrt(dX'^2 + dY'^2)} {(R_m+h+dZ')} $

I tillegg må avstanden påføres den vanlige kartprojeksjonskorreksjonen.

Merk

Kartprojeksjonskorreksjonen påføres først ved utjevningsberegningen.

Retningsvinkel¶

Av figuren ser vi at asimut a kan uttrykkes som:

$\arctg(\frac{ dY'} {dX'})$

Vi er interessert i retningsvinkelen og må derfor trekke fra meridiankonvergensen. I tillegg må vi påføre den vanlige kartprojeksjonskorreksjonen.

Merk

Kartprojeksjonskorreksjonen påføres først ved utjevningsberegningen.

Meridiankonvergensen g er ifølge Jordan/Eggert/Kneissl (1959) for en Transversal Mercator-projeksjon:

$ \gamma = d\lambda \sin \phi + \frac{d\lambda^3}{3} \sin \phi \cos^2 \phi (1 + 3\epsilon^2 + 2\epsilon^4)+\frac{d\lambda^5}{15} \sin\phi \cos^4 \phi(2- \tan^2\phi) $

Hvor $d\lambda$ dl er lengdedifferansen fra kartprojeksjonens berøringsmeridian til vektorens startpunkt. For en konform kjegleprojeksjon og for den stereografiske projeksjonen finnes det egne formler.

Zenitdistanser¶

Vi ser av figuren at zenitdistansen z kan uttrykkes slik:

$ Z = \arctg\frac{\sqrt (dX'^2 + dY'^2)}{dZ'} $

Den skiller seg fra en konvensjonell zenitdistanse på to viktige punkter:

Refraksjonsfri
Upåvirket av loddavvik. Med andre ord refererer den til ellipsoidenormalen, og ikke til geoidenormalen

Vi må derfor påføre to korreksjoner: en for jordkrumning og en for loddavvik som måtte være kjente.

Merk

Korreksjoner for jordkrumning og loddavvik påføres først ved utjevningsberegningen.

Jordkrumning¶

$ Z_{korr} = Z_{obs} - \frac{S_{ell}}{2R_m} $

Der:

$S_{ell}$ : Ellipsoidisk avstand
$R_m$ : Krumningsradien i linjas midtpunkt, beregnet etter Eulers formel

Loddavvik¶

$ Z_{ort} = Z_{korr} + \xi \cos \alpha + \eta \sin \alpha $

Der:

$Z_{ort}$ : Zenitdistansen som refererer til geoidenormalen
$Z_{korr}$ : Zenitdistansen som refererer til ellipsoidenormalen etter korreksjon for jordkrumning
$\alpha$ : vektoren asimut
$\xi$ : østlig loddavvik
$\eta$ : nordlig loddavvik

Standardavvik og korrelasjoner¶

Ved differensiell GPS består vektoren av en dX-, dY- og dZ-komponent, som hver har et beregnet standardavvik. Komponentene er beregnet samlet, slik at de blir korrelerte. Denne korrelasjonen må vi ta hensyn til når vektoren skal benyttes i utjevningen. Multipliserer vi standardavvikene inn på rett plass i korrelasjonsmatrisen, får vi en kovariansmatrise som vi kaller CSAT.

$$ C_{SAT} = \begin{bmatrix} StdX & & \ & Std Y & \ & & StdZ \end{bmatrix}

\[\begin{bmatrix} 1 & Qxy & Qxz \\ Qxy & 1 & Qyz \\ Qxz & Qyz & 1 \end{bmatrix}\]

\begin{bmatrix} StdX & & \ & Std Y & \ & & StdZ \end{bmatrix} $$

Men vi er interessert i kovariansen til de utledete retningene, avstandene og zenitdistansene. Med støtte i forplantningsloven for kovarians får vi:

$C_{TERR} = BM \cdot C_{SAT} \cdot MT \cdot BT$

Der:

$C_{TERR}$ : Kovariansmatrisen til avstander, retninger og zenitdistanse til vektoren
$B$ : Matrise med differensialkoeffisienter for asimut, avstand og zenitdistanse med hensyn til lokale vektorkomponenter
$M$ : Matrise for transformasjon i lengde og bredde
$C_{SAT}$ : Kovariansmatrise for vektoren

Hvis det er logget data fra mer enn to mottakere samtidig, og vektorene er beregnet ved såkalt "multibaseløsning", vil vektorene også innbyrdes være korrelerte.

I eksemplet nedenfor er det brukt tre mottakere. Vektorene er beregnet ved "multibaseløsning". Ofte vil det da kunne beregnes tre vektorer uten motsigelser, i den forstand at trekanten gir fullstendig lukning. Dette gir en tredje vektor som er en lineær kombinasjon av de to øvrige. Den bidrar derfor ikke med noen informasjon og utelates.

Gir "multibaseløsningen" ingen fullstendig lukning av trekanten, må vi ha med alle tre vektorene, men tredje vektoren vil da være sterkt korrelert med de to øvrige.

På tilsvarende måte kan det vises at fire mottakere gir tre korrelerte vektorer.

Når vektorer er innbyrdes ukorrelerte, vil matrisene inneholde mange 0-elementer utenfor hoveddiagonalene, og elementer forskjellig fra 0 vil typisk plasseres slik figuren nedenfor prøver å illustrere.

I figuren har vi to grupper av korrelerte vektorer som hver består av tre vektorer. Hver liten firkant illustrerer en (3 × 3)-matrise.

I klassisk landmåling betraktes hver måling som uavhengig, og vektene beregnes som:

$m_0^2/m_i^2$

Der:

$m_0$ : middelfeilen (standardavviket) til vektenheten
$m_i$ : middelfeilen (standardavviket) til observasjon nr. i

De størrelsene vi utleder fra GPS-vektorene blir gruppevis korrelerte, så vi kan ikke lenger operere med en vekt per observasjon, men med en vektsmatrise for hver "gruppe" av korrelerte vektorer. Denne vektsmatrisen beregnes ved å multiplisere m₀² inn i den inverterte kovariansmatrisen $C_{TERR}$:

$P_{GPS} = m_o^2C_{TERR}^{-1}$

Bidraget til normalligningene beregnes ved at den vanlige vektsmatrisen $P$ erstattes med $P_{GPS}$, og vi får:

$N_{GPS} = A^T \cdot P_{GPS} \cdot A$