Indre pålitelighet¶

Hva er indre pålitelighet?¶

Fra standarden "Kart og geodata" finner vi at "...med indre pålitelighet forstås hvor godt observasjonene i et system gjensidig kontrollerer hverandre, eller sagt på en annen måte, hvordan (grov) feil i en observasjon gjenspeiles i den tilhørende utjevningskorreksjonen."

Innenfor denne definisjonen faller også Gemini Terrains mål for indre pålitelighet. Det er mulig å få ut flere mål for indre pålitelighet i Gemini Terrain. Alle omtales nedenfor:

Største gjenværende grovfeil
Redundans
Maksimal relativ grovfeil

Største gjenværende grovfeil¶

Vi tenker oss at vi har testet observasjonsmaterialet for grovfeil og luket bort påviselige feil. Det interessante er størrelsen på de gjenværende feilene. Dette er feil som i grovfeilsøkingen er for små eller for usikkert bestemt til at observasjonen kan kasseres.

For hver av disse gjenværende feilene beregner vi et konfidensintervall:

\([\hat\nabla-m_0T_{p,\alpha/2}, \hat\nabla+m_0T_{p,\alpha/2} ]\)

Ytterkant av dette intervallet er største gjenværende grovfeil \(\nabla_0\).

I listen for analyse vil dette målet listes sammen med de nevnte indre pålitelighetsmålene, og har der betegnelsen største gjenværende grovfeil. Benevningen avhenger av om det er avstands- eller vinkelobservasjon, og er derfor lite interessant med tanke på relativ pålitelighet mellom observasjonstyper.

Redundans¶

Redundansen angir i det ukorrelerte tilfellet hvor stor andel av grovfeilen som viser seg i utjevningskorreksjonene. Den ligger da mellom 0 og 1, og er bare avhengig av nettets geometri. Observasjoner som har redundans nær 1 vil følgelig få store utjevningskorreksjoner hvis de inneholder grove feil. Mulighetene for å oppdage grove feil er derfor store.

I det korrelerte tilfellet anvender vi den generelle formelen om at redundansen er diagonalleddene i matrisen \(Q_{vv}P\) der:

\(Q_{vv} = P^{-1} - (A \cdot N^{-1} \cdot A^T)\)

der \(P\) er vektsmatrisen. Dette gjelder for eksempel når vi har satellittobservasjoner med i beregningen. Vi kan da få både negativ redundans og redundans større enn 1.

Maksimal relativ grovfeil¶

Maksimal relativ grovfeil er største gjenværende grovfeil i multiplum av observasjonens standardavvik. Er verdien for eksempel 2, kan vi på gitt signifikansnivå påstå at observasjonen ikke inneholder grovfeil større enn dens standardavvik × 2.

Gemini Terrains mål for indre pålitelighet blir nå største gjenværende grovfeil i multiplum av observasjonens standardavvik.

\(\frac{\nabla_0}{m_i}\)

Dokumentasjon av Baarda verdier¶

Minste påviselige feil - Baarda¶

Også dette indre pålitelighetsmålet kan, hvis ønskelig, listes på resultatutskriften. Denne verdien er nært knyttet til Baardas metode for grovfeilsøkning, kalt data-snooping. Den baseres på standardiserte utjevningskorreksjoner \(w_i\), (utjevningskorreksjonen i multiplum av sitt standardavvik), som vil være standard normalfordelt hvis vi antar normalfordelte observasjoner. Forutsetter vi nå uavhengige observasjoner, kan det vises at estimert feil

\(\hat\nabla=w_i\frac{\sigma_i}{\sqrt r_i}\)

og at antatt standardavvik til denne størrelsen blir:

\(\sigma_{\hat\nabla}=\frac{\sigma_i}{\sqrt r_i}\)

Der:

\(\hat\nabla\) = estimert feil
\(r_i\) = redundansen til observasjon nr. i
\(\sigma_i\) = antatt standardavvik til observasjon nr. i

Innfører vi nå at forventningen til denne feilens tallverdi er \(0.8\sigma_\nabla\) og danner et 5 % konfidensintervall omkring forventningen, får vi:

\(0.8\sigma_{\hat\nabla}+N_{2.5\%}\sigma_{\hat\nabla}\)

Setter vi inn verdier for \(N_{2.5\%}\) (normalfordelingstabell) får vi:

\(2.8\sigma_{\hat\nabla}=2.8\frac{\sigma_i}{\sqrt r_i}\)

og kaller verdien minste påviselige feil.

Sammen med minste påviselige feil lister vi feilens virkning på utjevningsresultatet. Dette gjør vi ved å multiplisere feilen med \((1 - r_i)\) der \(r_i\) er redundansen.

Fri eller tvungen utjevning?¶

Indre pålitelighet er nært knyttet til oppdaging av grove feil, og kassering av tilhørende observasjoner. Den sier noe om hvor godt observasjonene i nettet kontrollerer hverandre. For maksimal grovfeil sin del skal største gjenværende grovfeil estimeres. For at ikke tvang i grunnlaget skal ha innflytelse på denne beregningen, må fri utjevning ligge til grunn. Vet vi med stor sikkerhet at grunnlaget er tvangsfritt, for eksempel det nye stamnettet, kan det forsvares å estimere grovfeil etter tvangsutjevning. Alle indre pålitelighetsmål må referere til samme utjevning, så vi får regelen:

Merk

Indre pålitelighet baseres på den utjevning som anvendes ved vurdering av observasjoners kassering (grovfeilsøking).