Beregningsrutiner for multippel t-test¶

Grovfeilsøkningen baserer seg på en multippel T-test. Vi forsøker å estimere en grov feil i hver observasjon, men kun en om gangen. Dette gjøres ved å innføre en grovfeilsparameter i feilligningsmatrisa, som da må utvides med en søyle. Søyla får som element et ett-tall i linja for vedkommende observasjon. Er observasjonen en retning, må også satsens Schreiber-ligning få et ett-tall.

Matematisk grunnlag¶

Den nye grovfeilsparameteren medfører at også normalligningene må utvides med en søyle, og konstantleddkolonnen får et element mer. Reduksjonen av normalligningene er allerede gjort, det gjenstår bare å redusere den nye søyla og det nye konstantleddet. Siste reduserte element i søyla er angitt med a og redusert konstantledd med b i figuren nedenfor.

Tenker vi oss nå at en enhetsmatrise ble lagt på høyre side og redusert på vanlig måte, ville "enhetssøylen" til grovfeilsparameteren bestå av bare ett ledd og etter reduksjon bli lik $c = 1/a$.

Vi har dermed følgende størrelser som vi trenger til grovfeiltesten:

Estimert grovfeil:

$\nabla = \frac{b}{a}$

Vektskoeffisienten:

$q_{\nabla\nabla} = c^2 =\frac{1}{a^2}$

Reduksjon av feilkvadratsum:
$b^2$
Standardavvik til vektenheten:

$(m_0)^2 = {\frac{\Sigma pvv}{overbestemmelser}}$

Kriterium for grov feil¶

Vi kan påstå grov feil hvis:

$\nabla / m_0 \cdot q_{\nabla \nabla} = \frac {b}{m_0} > T_{\frac{\alpha}{2},f}$

hvor: * $f$ er antall overbestemmelser * $\alpha $ er valgt feilslutningssannsynlighet, f.eks. 0,1 %

Advarsel

Forutsetningen for å kunne påstå grov feil i en observasjon er at den reduserte normalligninga som anvendes er framkommet ved fri utjevning. Er grovfeilsøkingen gjort på bakgrunn av en tvangsutjevning, kan vi ikke påstå feil med mindre årsaken oppdages, f.eks. som punchefeil. Det kan også forsvares å kassere observasjoner etter tvangsutjevning i de tilfeller der vi med stor sikkerhet vet at grunnlagspunkta kun inneholder neglisjerbare feil. Eksempel på dette er når grunnlagspunkta består av første orden.

Feilslutningssannsynlighet¶

Når det gjelder valgt feilslutningssannsynlighet ved en enkelt grovfeilstest for en observasjon, må den velges liten for at total feilslutningssannsynlighet etter test av alle observasjonene skal bli akseptabel. Hvis de estimerte grove feil var uavhengig av hverandre, ville total feilslutningssannsynlighet bli:

$1-(1-\alpha)^n$

Selv om denne uavhengigheten ikke er reell kan en i praksis likevel anta uavhengighet ved beregning av total feilslutningssannsynlighet. Ved et stort antall observasjoner er det vanlig å velge feilslutningssannsynligheten ved enkelttestene til 0,1 %.

Merk

Grovfeilssøkning kan bare utføres hvis normalligningssystemet inneholder minst 2 overskytende målinger.