Beregningsrutiner for test av kjente punkt (globaltest)¶

Etter at observasjonene er grovfeilsundersøkt, og statistisk påviselige grovfeil er fjernet fra observasjonsregisteret, er spørsmålet om observasjonene kan avsløre tvang i det eksisterende grunnlagsnettet.

Statistisk test¶

Til dette brukes en statistisk test som vi i denne presentasjonen kaller Globaltest. Det er en klassisk F-test, og kan uttrykkes slik:

0-hypotese: Ingen tvang i eksisterende grunnlagsnett.
Alt. hypotese: Tvang i grunnlagsnettet.

0-hypotesen forkastes hvis:

$\frac{\frac {\Sigma pvv_{tvang}-\Sigma pvv_{fri}}{f_{tvang}-f_{fri}}}{\frac {\Sigma pvv_{fri}}{f_{fri}}}>F_{\alpha,f_{fri},f_{tvang}}$

Der: * $m_0$ : antall overbestemmelser ved fri utjevning

$T_{\frac{\alpha}{2},f}$ : antall overbestemmelser ved tvangsutjevning
$q_{DD}$ : vektet feilkvadratsum ved fri utjevning
$\Sigma pvv_{tvang}$ : vektet feilkvadratsum ved tvangsutjevning
$F_{\alpha,f_{fri},f_{tvang}}$ : Statistisk F-verdi ved feilslutningssannsynlighet og $f_{fri}$ og $f_{tvang}$ frihetsgrader

Lokalisering av tvang¶

Hvis 0-hypotesen forkastes, dvs. at det påstås tvang i grunnlagsnettet, er spørsmålet hvor i nettet tvangen befinner seg. Lokaliseringen kan gjøres ved automatisk å fristille grunnlagspunkt etter tur, ett ad gangen, og beregne hvilken innflytelse hvert grunnlagspunkt har på feilkvadratsummen. Det punkt som reduserer feilkvadratsummen mest er "hovedmistenkt", og vi foretar en ny Globaltest med dette punktet fritt.

Hvis 0-hypotesen igjen forkastes, fristiller vi igjen grunnlagspunkt etter tur, og finner det som nå, sammen med det forrige, reduserer feilkvadratsummen mest. Slik løper prosessen til 0-hypotesen ikke lenger kan forkastes. Hvis systemet fortsatt er overbestemt fortsettes det til ytterligere ett punkt er fristilt (overkompensasjon).

Teknisk beregning¶

Teknikken med å fristille grunnlagspunkt medfører at redusert normalligning fra tvangsutjevninga må utvides med to søyler, og konstantleddsøylen med to ledd.

Ved globaltestens start ble de ureduserte normalligningsledd for alle punkt beregnet og lagret. Disse henter vi og plasserer på rett plass i ekstrasøylene og ekstraledda. Vi reduserer så de nye søyler og ledd på vanlig måte, og ny vekta feilkvadratsum blir gammel sum minus kvadratsummen av konstantleddsøylas nye ledd, $(a^2 + b^2)$.

Figuren illustrerer ekstrasøyler og ledd ved fristillelse av et grunnlagspunkt. Vektet feilkvadratsum pvv blir forbedret med $a^2 + b^2$.

Overkompensasjon og fastlåsing¶

Nå kan noen av de fristilte grunnlagspunkt likevel beholdes hvis flere andre grunnlagspunkt enn nødvendig er fristilt ved overkompensasjon.

Fristilte punkt må derfor etter tur fastholdes, og økningen av vekta feilkvadratsum må beregnes. Det punkt som øker feilkvadratsummen minst, blir kandidat for fastlåsing, og vi foretar Globaltest med dette punktet fast. Slik fortsetter prosessen så lenge 0-hypotesen passerer testen.

Teknikken med å låse fast punkt igjen medfører at punktets søyler i normalligningene og ledd i konstantleddsøyla etter tur nulles ut, og etterfølgende søyler reduseres på nytt. (Bare ledd nedenfor de nullede reduseres i konstantleddsøyla.)

I deformerte nett kan en ende opp med et tvangsfritt system hvor ingen ekstra punkt lar seg fastholde.

Beregningsrutiner for test av endringer¶

For hvert fristilt punkt beregnes konfidensintervallets bredde. Siden intervallet er symmetrisk om nullpunktet konsentrerer vi oss om halve bredden $D$.

$D=m_0 \cdot \sqrt {q_{DD}} \cdot T_{\frac{\alpha}{2},f}$

Der: * $m_0$ : Estimert standardavvik på vektenheten

$T_{\frac{\alpha}{2},f}$ : T-verdi med f frihetsgrader og feilslutningssannsynlighet, f.eks. 0,05 (5 %)
$q_{DD}$ : vektskoeffisienten til avstanden mellom ny og gammel posisjon

$m_0$ beregnes på vanlig måte ut fra vekta feilkvadratsum og antall frihetsgrader.

$T_{\frac{\alpha}{2},f}$ er definert ut fra sine frihetsgrader og feilslutningssannsynlighet.

$q_{DD}$ framkommer ved forplantningsloven for kovarians:

$q_{DD} = f \cdot N^{-1} \cdot f^T = f \cdot (R^{-1} )^T \cdot R^{-1} \cdot f^T$

Der: * $f$ = [0,0,...-cosr,-sinr...0,0] * $r$ = retningsvinkelen fra ny til gammel posisjon * $q_{DD}$ = invertert redusert normalligningsmatrise

Å multiplisere med $R^{-1}$ tilsvarer å redusere. Vi kan derfor bruke teknikken som før med å legge til ekstrasøyle. For det første fristilte punkt legger vi til ei søyle som vist på forrige side. Denne reduseres på vanlig måte og multipliseres med seg selv. For andre fristilte punkt gjør vi det samme, men koeffisientene $f$ er forskjellige. Vi får på denne måten beregna vektskoeffisienten $q_{DD}$ til avstanden mellom ny og gammel posisjon.

Vurdering av posisjonsendring¶

For alle de fristilte punkt beregnes posisjonsendring (S) i multiplum av dens standardavvik.

Dette kan uttrykkes som:

$\frac{S}{m_0 \cdot \sqrt{q_{DD}}} $

Der: * $S$ er posisjonsendringen

Det punkt som har minst kvotient blir først gjenstand for test av endringer. Hvis resultatet av testen blir at dette punktet må fastholdes med sine opprinnelige koordinater, må normalligningene oppdateres og nye koordinater og deres standardavvik beregnes på nytt før prosessen fortsetter. Blir derimot resultatet at nye koordinater er å foretrekke, kan nye koordinatverdier adopteres for alle fristilte punkt, og Test av endringer er ferdig.