Efter omvandling¶

Listan med observationer efter omvandling innehåller alla omvandlade satellitvektorer, det vill säga avstånd, riktning och zenitdistans.

Vad händer vid en omvandling?¶

I Gemini Terrain är det valt en metod som först transformerar vektorn i längd (l) och bredd (j) till ett lokalt vänsterhängt koordinatsystem där X'-axeln tangerar lokal meridian, såsom formeln nedan visar.

\[ \begin{array}{c} \text{X'} \\ \begin{bmatrix} dX' \\ dY' \\ dZ' \end{bmatrix} \end{array} = \begin{array}{c} \text{M} \\ \begin{bmatrix} -\sin \phi \cos \lambda & -sin\phi\cos \lambda & \cos \phi \\ -\sin \lambda & \cos \lambda & 0\\ \cos \phi \cos \lambda & \cos \phi \sin \lambda & \sin \phi \end{bmatrix} \end{array} \cdot \begin{array}{c} \text{X} \\ \begin{bmatrix} dX \\ dY \\ dZ \end{bmatrix} \end{array} \]

Eller förkortat: $X' = M \cdot X$

Utifrån detta lokala koordinatsystem kan vi beräkna avstånd, riktningsvinkel och zenitdistans.

Avstånd¶

Med hjälp av figuren ser vi att ellipsoidiskt avstånd kan uttryckas som:

$ D = R_m\arctg \frac {\sqrt(dX'^2 + dY'^2)} {(R_m+h+dZ')} $

Dessutom måste avståndet påföras den vanliga kartprojektionskorrigeringen.

Observera

Kartprojektionskorrigeringen påförs först vid utjämningsberäkningen.

Riktningsvinkel¶

Av figuren ser vi att azimut a kan uttryckas som:

$\arctg(\frac{ dY'} {dX'})$

Vi är intresserade av riktningsvinkeln och måste därför dra ifrån meridiankonvergensen. Dessutom måste vi påföra den vanliga kartprojektionskorrigeringen.

Observera

Kartprojektionskorrigeringen påförs först vid utjämningsberäkningen.

Meridiankonvergensen g är enligt Jordan/Eggert/Kneissl (1959) för en Transversal Mercator-projektion:

$ \gamma = d\lambda \sin \phi + \frac{d\lambda^3}{3} \sin \phi \cos^2 \phi (1 + 3\epsilon^2 + 2\epsilon^4)+\frac{d\lambda^5}{15} \sin\phi \cos^4 \phi(2- \tan^2\phi) $

Där $d\lambda$ dl är längdskillnaden från kartprojektionens beröringsmeridian till vektorns startpunkt. För en konform konprojektion och för den stereografiska projektionen finns det egna formler.

Zenitdistanser¶

Vi ser av figuren att zenitdistansen z kan uttryckas så här:

$ Z = \arctg\frac{\sqrt (dX'^2 + dY'^2)}{dZ'} $

Den skiljer sig från en konventionell zenitdistans på två viktiga punkter:

Refraktionsfri
Opåverkad av loddavvikelse. Med andra ord refererar den till ellipsoidnormalen, och inte till geoidnormalen

Vi måste därför påföra två korrigeringar: en för jordkrökning och en för loddavvikelse som måtte vara kända.

Observera

Korrigeringar för jordkrökning och loddavvikelse påförs först vid utjämningsberäkningen.

Jordkrökning¶

$ Z_{korr} = Z_{obs} - \frac{S_{ell}}{2R_m} $

Där:

$S_{ell}$ : Ellipsoidiskt avstånd
$R_m$ : Krökningsradien i linjans mittpunkt, beräknad enligt Eulers formel

Loddavvikelse¶

$ Z_{ort} = Z_{korr} + \xi \cos \alpha + \eta \sin \alpha $

Där:

$Z_{ort}$ : Zenitdistansen som refererar till geoidnormalen
$Z_{korr}$ : Zenitdistansen som refererar till ellipsoidnormalen efter korrigering för jordkrökning
$\alpha$ : vektorns azimut
$\xi$ : östlig loddavvikelse
$\eta$ : nordlig loddavvikelse

Standardavvikelser och korrelationer¶

Vid differentiell GPS består vektorn av en dX-, dY- och dZ-komponent, som var och en har en beräknad standardavvikelse. Komponenterna är beräknade tillsammans, så att de blir korrelerade. Denna korrelation måste vi ta hänsyn till när vektorn ska användas i utjämningen. Multiplicerar vi standardavvikelserna in på rätt plats i korrelationsmatrisen, får vi en kovariansmatris som vi kallar CSAT.

$$ C_{SAT} = \begin{bmatrix} StdX & & \ & StdY & \ & & StdZ \end{bmatrix}

\[\begin{bmatrix} 1 & Qxy & Qxz \\ Qxy & 1 & Qyz \\ Qxz & Qyz & 1 \end{bmatrix}\]

\begin{bmatrix} StdX & & \ & StdY & \ & & StdZ \end{bmatrix} $$

Men vi är intresserade av kovariansen till de härledda riktningarna, avstånden och zenitdistanserna. Med stöd i forplantningslagen för kovarians får vi:

$C_{TERR} = BM \cdot C_{SAT} \cdot MT \cdot BT$

Där:

$C_{TERR}$ : Kovariansmatrisen till avstånd, riktningar och zenitdistans till vektorn
$B$ : Matris med differentialkoefficienter för azimut, avstånd och zenitdistans med avseende på lokala vektorkomponenter
$M$ : Matris för transformation i längd och bredd
$C_{SAT}$ : Kovariansmatris för vektorn

Om det är loggade data från mer än två mottagare samtidigt, och vektorerna är beräknade vid så kallad "multibaslösning", kommer vektorerna även sinsemellan vara korrelerade.

I exemplet nedan är det använt tre mottagare. Vektorerna är beräknade vid "multibaslösning". Ofta kommer det då kunna beräknas tre vektorer utan motsägelser, i den meningen att triangeln ger fullständig slutning. Detta ger en tredje vektor som är en linjär kombination av de två övriga. Den bidrar därför inte med någon information och utelämnas.

Ger "multibaslösningen" ingen fullständig slutning av triangeln, måste vi ha med alla tre vektorerna, men tredje vektorn kommer då vara starkt korrelerad med de två övriga.

$N_{GPS} = A^T \cdot P_{GPS} \cdot A$