Inre tillförlitlighet

Vad är inre tillförlitlighet?

Från standarden "Kart och geodata" finner vi att "...med inre tillförlitlighet förstås hur väl observationerna i ett system ömsesidigt kontrollerar varandra, eller sagt på ett annat sätt, hur (grov)fel i en observation återspeglas i den tillhörande utjämningskorrigeringen."

Inom denna definition faller också Gemini Terrains mått för inre tillförlitlighet. Det är möjligt att få ut flera mått för inre tillförlitlighet i Gemini Terrain. Alla behandlas nedan:

• Största återstående grovfel
• Redundans
• Maximal relativ grovfel

Definition

Inre tillförlitlighet beskriver ett nätverks förmåga att upptäcka och kontrollera grovfel genom ömsesidig kontroll mellan observationerna.

Största återstående grovfel

Vi tänker oss att vi har testat observationsmaterialet för grovfel och gallrat bort påvisbara fel. Det intressanta är storleken på de återstående felen. Detta är fel som i grovfelsökningen är för små eller för osäkert bestämda för att observationen ska kunna kasseras.

För vart och ett av dessa återstående fel beräknar vi ett konfidensintervall:

\([\hat\nabla-m_0T_{p,\alpha/2}, \hat\nabla+m_0T_{p,\alpha/2} ]\)

Ytterkant av detta intervall är största återstående grovfel \(\nabla_0\).

I analyslistan listas detta mått tillsammans med de nämnda inre tillförlitlighetsmåtten och har där beteckningen största återstående grovfel. Enheten beror på om det är avstånds- eller vinkelobservation och är därför mindre intressant med tanke på relativ tillförlitlighet mellan observationstyper.

Praktisk betydelse

Största återstående grovfel anger den maximala felstorlek som kan finnas kvar i observationen utan att det är statistiskt påvisbart.

Redundans

Redundansen anger i det okorrelerade fallet hur stor andel av grovfelet som visar sig i utjämningskorrigeringarna. Den ligger då mellan 0 och 1 och är bara beroende av nätets geometri. Observationer som har redundans nära 1 kommer följaktligen att få stora utjämningskorrigeringar om de innehåller grovfel. Möjligheterna att upptäcka grovfel är därför stora.

I det korrelerade fallet använder vi den generella formeln att redundansen är diagonalelementen i matrisen \(Q_{vv}P\) där:

\(Q_{vv} = P^{-1} - (A \cdot N^{-1} \cdot A^T)\)

där \(P\) är viktmatrisen. Detta gäller till exempel när vi har satellitobservationer med i beräkningen. Vi kan då få både negativ redundans och redundans större än 1.

Redundans och kontroll

Hög redundans (nära 1) = god kontroll, låg redundans (nära 0) = dålig kontroll av observationen.

Maximal relativ grovfel

Maximal relativ grovfel är största återstående grovfel i multipel av observationens standardavvikelse. Är värdet till exempel 2, kan vi på givet signifikansnivå påstå att observationen inte innehåller grovfel större än dess standardavvikelse × 2.

Gemini Terrains mått för inre tillförlitlighet blir nu största återstående grovfel i multipel av observationens standardavvikelse.

\(\frac{\nabla_0}{m_i}\)

Praktisk användning

Maximal relativ grovfel ger en dimensionslös storhet som möjliggör jämförelse mellan olika observationstyper.

Dokumentation av Baarda-värden

Minsta påvisbara fel - Baarda

Också detta inre tillförlitlighetsmått kan, om önskvärt, listas på resultatutskriften. Detta värde är nära knutet till Baardas metod för grovfelsökning, kallad data-snooping. Den baseras på standardiserade utjämningskorrigeringar \(w_i\) (utjämningskorrigeringen i multipel av sitt standardavvikelse), som kommer att vara standardnormalfördelade om vi antar normalfördelade observationer. Förutsätter vi nu oberoende observationer kan det visas att estimerat fel:

\(\hat\nabla=w_i\frac{\sigma_i}{\sqrt r_i}\)

och att antaget standardavvikelse till denna storhet blir:

\(\sigma_{\hat\nabla}=\frac{\sigma_i}{\sqrt r_i}\)

Där: * \(\hat\nabla\) = estimerat fel
\(r_i\) = redundansen till observation nr. i
\(\sigma_i\) = antaget standardavvikelse till observation nr. i

Inför vi nu att förväntningen till detta fels numeriska värde är \(0.8\sigma_\nabla\) och bildar ett 5 % konfidensintervall kring förväntningen får vi:

\(0.8\sigma_{\hat\nabla}+N_{2.5\%}\sigma_{\hat\nabla}\)

Sätter vi in värden för \(N_{2.5\%}\) (normalfördelningstabell) får vi:

\(2.8\sigma_{\hat\nabla}=2.8\frac{\sigma_i}{\sqrt r_i}\)

och kallar värdet minsta påvisbara fel.

Tillsammans med minsta påvisbara fel listar vi felets verkan på utjämningsresultatet. Detta gör vi genom att multiplicera felet med \((1 - r_i)\) där \(r_i\) är redundansen.

Baarda-metodens betydelse

Baarda-värden ger en systematisk och teoretiskt välgrundad metod för att kvantifiera nätverkets detektionsförmåga.

Fri eller tvungen utjämning?

Inre tillförlitlighet är nära kopplad till upptäckt av grovfel och kassering av tillhörande observationer. Den säger något om hur väl observationerna i nätet kontrollerar varandra. För maximal grovfels del ska största återstående grovfel estimeras. För att inte tvång i grundlaget ska ha inflytande på denna beräkning måste fri utjämning ligga till grund. Vet vi med stor säkerhet att grundlaget är tvångsfritt, till exempel det nya stamnätet, kan det försvaras att estimera grovfel efter tvångsutjämning. Alla inre tillförlitlighetsmått måste referera till samma utjämning, så vi får regeln:

Grundläggande princip

Inre tillförlitlighet baseras på den utjämning som används vid bedömning av observationers kassering (grovfelsökning).

Viktigt för validitet

Användning av tvungen utjämning för inre tillförlitlighet kan ge vilseledande resultat om det finns tvång i grundlagsnätet.

Sammanfattning av tillförlitlighetsmått

Gemini Terrain erbjuder flera komplementera mått för inre tillförlitlighet:

1. Redundans - Geometriskt mått på kontrollerbarheten
2. Största återstående grovfel - Maximal oupptäckt felstorlek
3. Maximal relativ grovfel - Dimensionslöst jämförelsomått
4. Minsta påvisbara fel (Baarda) - Teoretisk detektionsgräns

Helhetsbedömning

Använd alla tillförlitlighetsmått tillsammans för en komplett bedömning av nätverkets kvalitet och robusthet.