Beräkningsrutiner för multipel t-test

Grovfelsökningen baserar sig på en multipel T-test. Vi försöker att estimera ett grovfel i varje observation, men endast ett åt gången. Detta görs genom att införa en grovfelsparameter i felekvationsmatrisen, som då måste utvidgas med en kolumn. Kolumnen får som element ett ett-tal i raden för ifrågavarande observation. Är observationen en riktning måste också satsens Schreiber-ekvation få ett ett-tal.

Figuren visar hur felekvationsmatrisen utvidgas med en kolumn för grovfelsparametern

Matematisk grund

Den nya grovfelsparametern medför att också normalekvationerna måste utvidgas med en kolumn, och konstantledskolumnen får ett element mer. Reduktionen av normalekvationerna är redan gjord, det återstår bara att reducera den nya kolumnen och det nya konstantledet. Sista reducerade elementet i kolumnen är angivet med a och reducerat konstantled med b i figuren nedan.

Tänker vi oss nu att en enhetsmatris lades på höger sida och reducerades på vanligt sätt, skulle "enhetskolumnen" till grovfelsparametern bestå av bara ett led och efter reduktion bli lika med \(c = 1/a\).

Illustration av normalekvationens utvidgning och reduktion för grovfelsparameter

Vi har därmed följande storheter som vi behöver till grovfelstestet:

• Estimerat grovfel:
  \(\nabla = \frac{b}{a}\)

• Viktkoefficienten:
  \(q_{\nabla\nabla} = c^2 = \frac{1}{a^2}\)

• Reduktion av felkvadratsumma:
  \(b^2\)

• Standardavvikelse på viktenheten:
  \((m_0)^2 = {\frac{\Sigma pvv}{\text{överbestämningar}}}\)

Kriterium för grovfel

Vi kan påstå grovfel om:

\(\frac{\nabla}{m_0 \cdot \sqrt{q_{\nabla \nabla}}} = \frac{b}{m_0} > T_{\frac{\alpha}{2},f}\)

Där: * \(f\) är antal överbestämningar * \(\alpha\) är vald felslutningssannolikhet, till exempel 0,1 %

Förutsättning för grovfelspåstående

Förutsättningen för att kunna påstå grovfel i en observation är att den reducerade normalekvationen som används är framkommen vid fri utjämning. Är grovfelsökningen gjord på grund av en tvångsutjämning kan vi inte påstå fel såvida inte orsaken upptäcks, till exempel som inmatningsfel. Det kan också försvaras att kassera observationer efter tvångsutjämning i de fall där vi med stor säkerhet vet att grundlagspunkterna endast innehåller försumbara fel. Exempel på detta är när grundlagspunkterna består av första ordningens punkter.

Felslutningssannolikhet

När det gäller vald felslutningssannolikhet vid en enskild grovfelstest för en observation måste den väljas liten för att total felslutningssannolikhet efter test av alla observationerna ska bli acceptabel. Om de estimerade grovfelen var oberoende av varandra skulle total felslutningssannolikhet bli:

\(1-(1-\alpha)^n\)

Även om detta oberoende inte är reellt kan man i praktiken ändå anta oberoende vid beräkning av total felslutningssannolikhet. Vid ett stort antal observationer är det vanligt att välja felslutningssannolikheten vid enkeltesterna till 0,1 %.

Minimivillkor

Grovfelsökning kan bara utföras om normalekvationssystemet innehåller minst 2 överskjutande mätningar.

Statistisk grund

Multipel t-test möjliggör systematisk testning av alla observationer för potentiella grovfel medan den kontrollerar för multipla jämförelser genom justerad felslutningssannolikhet.