Beräkningsrutiner för test av kända punkter (globaltest)¶

Efter att observationerna är grovfelsundersökta och statistiskt påvisbara grovfel är borttagna från observationsregistret, är frågan om observationerna kan avslöja tvång i det befintliga grundlagsnätet.

Statistisk test¶

Till detta används en statistisk test som vi i denna presentation kallar Globaltest. Det är en klassisk F-test och kan uttryckas så här:

0-hypotes: Inget tvång i befintligt grundlagsnät.
Alt. hypotes: Tvång i grundlagsnätet.

0-hypotesen förkastas om:

\(\frac{\frac {\Sigma pvv_{tvång}-\Sigma pvv_{fri}}{f_{tvång}-f_{fri}}}{\frac {\Sigma pvv_{fri}}{f_{fri}}}>F_{\alpha,f_{fri},f_{tvång}}\)

Där: * \(m_0\) : antal överbestämningar vid fri utjämning
\(T_{\frac{\alpha}{2},f}\) : antal överbestämningar vid tvångsutjämning * \(q_{DD}\) : viktad felkvadratsumma vid fri utjämning
\(\Sigma pvv_{tvång}\) : viktad felkvadratsumma vid tvångsutjämning
* \(F_{\alpha,f_{fri},f_{tvång}}\) : Statistisk F-värde vid felslutningssannolikhet och \(f_{fri}\) och \(f_{tvång}\) frihetsgrader

Lokalisering av tvång¶

Om 0-hypotesen förkastas, det vill säga att det påstås tvång i grundlagsnätet, är frågan var i nätet tvånget befinner sig. Lokaliseringen kan göras genom att automatiskt fristilla grundlagspunkter i tur och ordning, en åt gången, och beräkna vilket inflytande varje grundlagspunkt har på felkvadratsumman. Den punkt som minskar felkvadratsumman mest är "huvudmisstänkt", och vi genomför en ny Globaltest med denna punkt fri.

Om 0-hypotesen återigen förkastas fristiller vi igen grundlagspunkter i tur och ordning och hittar den som nu, tillsammans med den föregående, minskar felkvadratsumman mest. Så löper processen tills 0-hypotesen inte längre kan förkastas. Om systemet fortfarande är överbestämt fortsätter det tills ytterligare en punkt är friställd (överkompensation).

Teknisk beräkning¶

Tekniken med att fristilla grundlagspunkter medför att reducerad normalekvation från tvångsutjämningen måste utvidgas med två kolumner, och konstantledskolumnen med två led.

Vid globaltestens start beräknades de oreducerade normalekvationslederna för alla punkter och lagrades. Dessa hämtar vi och placerar på rätt plats i extrakolumnerna och extralederna. Vi reducerar så de nya kolumnerna och lederna på vanligt sätt, och ny viktad felkvadratsumma blir gammal summa minus kvadratsumman av konstantledskolumnens nya led, \((a^2 + b^2)\).

Figuren illustrerar extrakolumner och led vid fristillning av en grundlagspunkt. Viktad felkvadratsumma pvv blir förbättrad med \(a^2 + b^2\).

Överkompensation och fastlåsning¶

Nu kan några av de friställda grundlagspunkterna ändå behållas om flera andra grundlagspunkter än nödvändigt är friställda vid överkompensation.

Friställda punkter måste därför i tur och ordning fasthållas, och ökningen av viktad felkvadratsumma måste beräknas. Den punkt som ökar felkvadratsumman minst blir kandidat för fastlåsning, och vi genomför Globaltest med denna punkt fast. Så fortsätter processen så länge 0-hypotesen passerar testet.

Tekniken med att låsa fast punkter igen medför att punktens kolumner i normalekvationerna och led i konstantledskolumnen i tur och ordning nollas ut, och efterföljande kolumner reduceras på nytt. (Bara led nedanför de nollade reduceras i konstantledskolumnen.)

I deformerade nät kan man hamna i ett tvångsfritt system där inga extra punkter låter sig fasthållas.

Beräkningsrutiner för test av ändringar¶

För varje friställd punkt beräknas konfidensintervallets bredd. Eftersom intervallet är symmetriskt om nollpunkten koncentrerar vi oss på halva bredden \(D\).

\(D=m_0 \cdot \sqrt {q_{DD}} \cdot T_{\frac{\alpha}{2},f}\)

Där: * \(m_0\) : Estimerat standardavvikelse på viktenheten * \(T_{\frac{\alpha}{2},f}\) : T-värde med f frihetsgrader och felslutningssannolikhet, till exempel 0,05 (5 %) * \(q_{DD}\) : viktkoefficienten till avståndet mellan ny och gammal position

\(m_0\) beräknas på vanligt sätt utifrån viktad felkvadratsumma och antal frihetsgrader.

\(T_{\frac{\alpha}{2},f}\) är definierat utifrån sina frihetsgrader och felslutningssannolikhet.

\(q_{DD}\) framkommer genom fortplantningslagen för kovarians:

\(q_{DD} = f \cdot N^{-1} \cdot f^T = f \cdot (R^{-1} )^T \cdot R^{-1} \cdot f^T\)

Där: * \(f\) = [0,0,...-cosr,-sinr...0,0] * \(r\) = riktningsvinkeln från ny till gammal position * \(q_{DD}\) = inverterad reducerad normalekvationsmatris

Att multiplicera med \(R^{-1}\) motsvarar att reducera. Vi kan därför använda tekniken som tidigare med att lägga till extrakolumn. För den första friställda punkten lägger vi till en kolumn som visats på föregående sida. Denna reduceras på vanligt sätt och multipliceras med sig själv. För andra friställda punkter gör vi detsamma, men koefficienterna \(f\) är olika. Vi får på detta sätt beräknad viktkoefficienten \(q_{DD}\) till avståndet mellan ny och gammal position.

Bedömning av positionsändring¶

För alla de friställda punkterna beräknas positionsändring (S) i multipel av dess standardavvikelse.

Detta kan uttryckas som:

\(\frac{S}{m_0 \cdot \sqrt{q_{DD}}}\)

Där: * \(S\) är positionsändringen

Den punkt som har minst kvotient blir först föremål för test av ändringar. Om resultatet av testet blir att denna punkt måste fasthållas med sina ursprungliga koordinater måste normalekvationerna uppdateras och nya koordinater och deras standardavvikelser beräknas på nytt innan processen fortsätter. Blir däremot resultatet att nya koordinater är att föredra kan nya koordinatvärden adopteras för alla friställda punkter, och Test av ändringar är färdig.

Viktigt att komma ihåg

Test av ändringar är en kritisk del av globaltest-processen som säkerställer att endast statistiskt motiverade koordinatändringar accepteras.